VECTOR TANGENTE NORMAL Y BINORMAL

8 octubre 2009 at 23:13 (General)

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE ALAMO-TEMAPACHE

DSC05016MATERIA: MATEMATICAS III/UNIDAD III

ING. Blanca Olivia Vite Del Angel.

TRABAJO REALIZADO POR: Ana Isabel Martínez Salas.

Ingenieria en Sistemas Computacionales 301″B”

 

VECTOR TANGENTE NORMAL Y BINORMAL

Vector tangente unitario y vector normal unitario principal: sea C una curva en el espacio descrita por r (t) = f (t) + g (t) +H (t) k, en donde f g y h tienen segundas derivadas.

Vector tangente unitario

                                         ½r´ (t)½T = r’ (t) /

Vector binormal unitario.- Vector unitario definido mediante B = T X N

Los tres vectores unitarios T, N, B forman un conjunto de vectores mutuamente ortogonales de orientación derecha, llamado triedo móvil Radio de curvatura.-El reciproco de la curvatura, p = 1/k se llama radio de curvatura. El radio de curvatura en un punto p de una curva es el radio de una circunferencia que se ajusta a la curva mejo que cualquier otra.

Por ejemplo, un automóvil que recorre una pista curvada. Puede considerarse que se mueve sobre una circunferencia.

Definición del Vector Tangente Unitario:

Sea c : [a , b] R3 una trayectoria infinitamente diferenciable (es decir, existen derivadas de todos los ordenes). Supongamos que c’(t) ≠ 0 para todo t. El vector

Es tangente a c en el punto c(t) y puesto que T(t) ) = 1, T se denomina vector tangente unitario de c

Ejemplo 1.-

Si

… c(t) = (2 cos t , 2 sen t, t)

Encontrar el vector tangente unitario.

Solución:

.. c’(t) = (−2 sen t , 2 cos t, 1)

Por lo tanto, el vector tangente unitario es:

Definición de Vector Normal Principal (unitario):

Sea C una curva suave representada por c en un intervalo abierto I. Si T’(t) ≠ 0, el vector normal principal en t se define como:

Ejemplo 2.-

 Hallar el vector Normal principal para la hélice:

 

 … c(t) = (2 cos t, 2 sen t, t)

 

 Solución:

 

 Por el ejemplo1 sabemos que el vector tangente unitario es:

 

 T’(t) viene dada por:

T’(t) = ( −2 cos t, −2 sen t, 0)

Como

T’(t) = =

se sigue que el vector normal principal es:

N(t) = ½ (−2 cos t , −2 sen t, 0) = (-cos t, sen t , 0)

Consideremos un tercer vector:

Definición de vector Binormal: 

El vector Binormal es un vector unitario perpendicular a T y a N definido por:

B = T H N

Ejemplo 3.-

Hallar el vector Binormal principal para la hélice:

 … c(t) = (2 cos t, 2 sen t, t)39297

Solución:

B = =

Los tres juntos, T, N y B, forman un sistema ortogonal orientado positivamente, que podemos interpretar en movimiento a lo largo de la trayectoria

Vector tangente unitario

La geometría diferencial constituye el estudio de las curvas y superficies en el espacio. Sea C una curva en el espacio definida por la función R(t), dR/dt es un vector en la dirección de la tangente a C. A dicho vector le llamaremos T(t).

Vector normal unitario

Consideramos la longitud de arco S medida a partir de un punto fijo de C. La variación de T con respecto de S es una medida de la curvatura de C y se obtiene por dT/ds. La dirección de dT/ds en un punto cualquiera de C es la correspondiente a la normal a curva en dicho punto. El vector unitario N en la dirección de la normal se llama normal principal a la curva. Así, dT/ds = k N, siendo k la curvatura de C en el punto dado. El recíproco de la curvatura r = 1/k se llama radio de curvatura.

Vector binormal unitario

El vector unitario B definido por el producto vectorial B = T x N, perpendicular al plano formado por T y N se llama binormal a la curva. Los vectores T, N, B, forman un triedro tri-rectángulo a derechas en cualquier punto de C.

 

Si aun no te queda claro el tema:  Consultado en libros.

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2 comentarios

  1. Adair Blanco Landin said,

    Muy bien hecho, esta informacion me sirvio de mucho para la comprension del tema de vector unitario y binomial la informacion es precisa y clara, razonable y comprensible yo lo califico como exelente hasta luego ..

  2. danieloswaldo said,

    Hola !!!

    La informacion me sirvio para conprender mas el tema de los vectores unitario y binomial a unque creo que le faltaron unas imagenes para saber como se representa un vector….

    La informacion del texto es facil de analizar y comprender asi cualquiera entenderia el tema…

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